魔方染色问题研究

魔方染色问题研究
【跨考考研】管综教研室梁轶群
染色问题是我们排列组合中的一个题型，如果给几种颜色来填涂所给的图形，且要求相邻的区域颜色不能相同，这样的问题我们称之为颜色问题。简单的“依次型”区域的染色问题相信大家已经掌握，因为不需要做太多的考虑，只要保证后面的区域涂色和前面的一个或两个不同即可，不需要进行专项训练也可以做对。而“环形”区域的染色问题虽然复杂一点，但是借助公式，我相信很多同学也能很快做对。今天我们要探讨的问题是相对来说更加复杂的一种染色问题——正方体染色问题，也叫魔方染色问题。
题的表述很简单，用六种不同的颜色给魔方的六个面涂色，要求相邻区域不同色，一共有多少种不同的涂法？
因为一个面相邻四个面，我们很容易分析出最少需要三种颜色，然后我们再依次算出四种颜色、五种颜色和六种颜色分别有几种情况，加和汇总。
（1）用三种颜色涂色。在6种颜色选取3种，有种情况，然后相同颜色只能放在对面，所以只有一种顺序，。
（2）用四种颜色涂色。在6种颜色选取4种，有种情况，我们在4种颜色中选出两种作为魔方中只涂一个面的颜色，其他两个颜色各涂两个面，有种选择，而同色的面只能放在对面，所以只有一种顺序，。
（3）用五种颜色涂色。在6种颜色选取5种，有种情况，在五种中选一种涂两个面有C（5,1）=5种选择，剩下的四种颜色做一个环形排列（所谓环形排列就是n个人站成一个圈的排序情况，环形排列和排成一排不同，圈是没有排头的，先选出一个人当排头，剩下的人就可以按照排成一排的思想来解决了，也就是说n个人的环形排列就相当于n-1个人站成一排，用字母来表示就是n个人的环形排列就相当于n-1个人站一排。根据排列组合公式，n-1个人站一排的排列方式有（n-1）！种情况），有种顺序，又因为相同颜色的两个面可以翻转，所以是不考虑顺逆时针的环形排列，还要除2，有3种顺序，。
（4）用六种颜色涂色。这就不存在选色的问题了。我们选择一种颜色固定在底部，使其不能纵向旋转，再给顶部一个颜色种情况，中间仍然是环形排列种顺序，。如果觉得上面的情况不好理解，也可以从五种颜色的情况的入手，把五种颜色涂那两个面的那个颜色换成新的颜色，有种情况，。
综上所述，用六个颜色给魔方涂色，颜色不必都用到，相邻区域不能同色的情况下，一共有20+90+90+30=230种方法。