2023年山东理工大学608数学分析考研大纲及参考书目

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数学与统计学院硕士研究生招生考试考试大纲

科目代码：608 科目名称：数学分析

考试范围：

一、实数集与函数

考试内容：确界、函数。

考试要求：(1)理解确界概念、确界原理、函数定义;(2)掌握确界及函数的简单运算。

二、数列极限

考试内容：数列极限，收敛数列性质，数列极限存在法则，柯西收敛准则。

考试要求：(1)熟练掌握用定义验证简单数列极限的方法;(2)掌握用单调有界法则、迫敛性定理及性质证明数列极限存在的方法;(3)理解柯西收敛准则。

三、函数极限

考试内容：函数极限定义，函数极限性质，归结原则(海涅定理)，柯西准则，两个重要极限，无穷小量。

考试要求：(1)熟练掌握用定义验证简单函数极限的方法;(2)掌握函数极限性质、归结原则及柯西准则;(3)熟练掌握两个重要极限;(4)理解无穷小量性质。

四、函数的连续性

考试内容：连续函数，闭区间上连续函数性质，一致连续。

考试要求：(1)掌握函数连续性定义及性质;(2)熟练掌握用定义验证简单函数在某区间上是一致连续或非一致连续的方法。

五、导数与微分

考试内容：导数定义，求导法则与求导公式，高阶导数，微分。

考试要求：(1)掌握导数定义;(2)掌握可导与连续的关系;(3)熟练掌握求导法则及参数方程所确定函数的求导方法;(4)掌握高阶导数的计算方法;(5)理解微分概念。

六、微分中值定理及其应用

考试内容：中值定理，不定式极限，泰勒公式。

考试要求：(1)熟练掌握微分中值定理;(2)熟练掌握洛必达法则;(3)理解泰勒定理;(4)熟练掌握函数单调性、极值和凹凸性的判别方法。

七、实数的完备性

考试内容：区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理。

考试要求：掌握各定理及其简单应用。

八、不定积分

考试内容：不定积分基本积分公式及运算法则，积分法。

考试要求：(1)熟练掌握换元、分部积分法;(2)掌握某些可有理化函数的不定积分的求法。

九、定积分

考试内容：定积分概念，可积函数类，定积分性质，微积分学基本定理，换元、分部积分法。

考试要求：(1)理解定积分概念;(2)理解可积函数类及其证明;(3)掌握微积分基本定理;(4)熟练掌握定积分的换元、分部积分法。

十、定积分的应用

考试内容：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体体积。

考试要求：(1)熟练掌握平面图形面积及平面曲线弧长的计算方法;(2)掌握旋转体的体积及侧面积的计算方法。

十一、反常积分

考试内容：反常积分的收敛与发散，反常积分的计算。

考试要求：(1)理解反常积分的收敛与发散;(2)熟练掌握反常积分的绝对收敛与条件收敛的判定方法。

十二、数项级数

考试内容：数项级数，正项级数，任意项级数。

考试要求：(1)掌握数项级数收敛的定义;(2)熟练掌握正项级数敛散性的判断方法;(3)掌握绝对收敛与条件收敛;(4)理解柯西准则。

十三、函数列与函数项级数

考试内容：函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，确界判别法，M判别法，极限函数与和函数的分析性质。

考试要求：(1)熟练掌握用定义及判别法判断函数列、函数项级数的一致收敛性;(2)掌握极限函数、和函数的分析性质。

十四、幂级数

考试内容：阿贝尔定理，收敛区间，幂级数的性质，初等函数的幂级数展开。

考试要求：(1)掌握阿贝尔定理;(2)掌握一些初等函数的幂级数展开式;(3)熟练掌握幂级数和函数的求解方法。

十五、傅里叶级数

考试内容：傅里叶级数，傅里叶级数的展开。

考试要求：(1)理解收敛定理;(2)熟练掌握傅里叶展开式。

十六、多元函数的极限与连续

考试内容：二元函数的极限，局部性质，二元函数的连续。

考试要求：(1)熟练掌握重极限与累次极限的求解;(2)掌握二元函数连续与一致连续的定义;(3)理解二元连续函数的性质。

十七、多元函数微分学

考试内容：全微分，偏导数，高阶偏导数，二元函数的极值。

考试要求：(1)熟练掌握二元函数的偏导数、全微分的定义;(2)熟练掌握偏导数及高阶偏导数的求解;(3)理解二元函数的中值定理和泰勒公式;(4)熟练掌握二元函数极值的求解。

十八、隐函数定理及其应用

考试内容：隐函数存在定理，隐函数求导法，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值。

考试要求：(1)理解隐函数存在定理;(2)熟练掌握求隐函数(组)偏导数及高阶导数的方法;(3)掌握切线与法平面、切平面与法线的求解;(4)熟练掌握求条件极值的方法。

十九、含参量积分

考试内容：含参变量的定积分，含参变量反常积分，一致收敛，含参变量反常积分的分析性质。

考试要求：(1)理解含参量积分的概念与性质;(2)掌握含参量反常积分一致收敛的判定;(3)熟练掌握含参量积分的求值方法。

二十、曲线积分

考试内容：第一型曲线积分，第二型曲线积分。

考试要求：(1)理解两类曲线积分的概念;(2)熟练掌握两类曲线积分的计算。

二十一、重积分

考试内容：二重积分，三重积分，曲线积分与路径无关的条件。

考试要求：(1)掌握二、三重积分计算方法;(2)理解二、三重积分的变量替换定理;(3)熟练掌握格林公式、曲线积分与路径无关的条件;(4)熟练掌握极坐标及柱面坐标变换计算重积分。

二十二、曲面积分

考试内容：第一(二)型曲面积分，高斯公式与斯托克斯公式。

考试要求：(1)理解两类曲面积分的概念;(2)掌握计算两类曲面积分的方法;(3) 熟练掌握高斯公式的应用;(4)理解斯托克斯公式。

参考书目：

《数学分析》上、下册第四版，华东师范大学数学系编，高等教育出版社。