微积分的基本思想，三重积分在现实生活中的作用

Evu阿牛

为什么我们在现实生活中会需要三重积分。我们要把它分解开来。我们先来分析一下，为什么我们需要积分，然后是二重积分，最后是三重积分。

如何理解积分

对于简单的图形，我们有现成的公式来求它们的面积。


但我们如何求下面图形的面积呢？


答案是，我们可以使用积分。描这里的积分就可以理解为曲线下面的面积。假设我们想求一条奇怪的曲线下面的面积，它看起来像这样：


用公式法求这样的面积是很困难的。我们希望用更简单的形状去近似或者代替它，比如矩形，面积公式是长乘以宽。那我们为什么不在曲线下画一堆矩形，求这些矩形的面积，然后把所有的小矩形面积加起来，来近似计算曲线下的面积，就像这样：


这是个不错的近似值，值为所有绿色矩形的面积之和。

每个矩形都有相同的宽度，以使计算更容易。宽度等于一个我们称之为Δx的量（概念上，Δx是x的变化）。每个矩形的高度是不同的，但它是由函数f(x)给出的，由图中弯曲的黑线表示。

为了体现高度是不同的，从左边开始的第一个矩形的高度是f(x)，第二个矩形的高度是f(x)，以此类推。一般来说，第i个矩形的高度为f（x）。

矩形的面积是高度乘以宽度，所以其中一个矩形的面积等于f（x）*Δx。如果我们把所有的矩形面积加起来，我们就可以得到曲线下的近似面积。

但是我们的近似值并不那么精确，我们可以通过增加矩形的数量使近似值更准确，就像这样：


注意，Δx现在更小了。而且，这个和比上一个更准确。我们可以继续把图形分成越来越小的矩形，使值更加精确。最终，随着矩形的数量接近无穷大（每个矩形的宽度接近0），近似面积越来越接近实际面积。

这个总和被称为积分。积分就是这样写出来的。


积分符号∫看起来像一个大的S。当一个叫戈特弗里德-莱布尼茨的德国人发展微积分时，他认为积分是一个无限的和。dx "代表Δx，即每个矩形的宽度，它现在是无限小的。这个 "dx "被称为微分。

这就是我们如何使用（一重）积分的方法。我们对1个变量进行积分，在这个例子中是x。当沿着x轴移动时，我们取一堆无限小的长方形的总和。宽度越小，近似值就越精确。

如何理解双重积分

对于二维图形我们求的是面积，对于三维图形我们求的是体积。像以前一样，我们对一些三维图形的体积有漂亮、整齐的公式。


但要求这些三维图形的体积就难多了。


我们应该如何求出这些奇怪形状的体积呢？为了求出体积，我们将使用双重积分工具。比方说，我想求出这个面包的体积。


我们可以从近似的体积开始。我们可以先把这个大块的面包沿着Y轴分成很多片。


每一片都有相同的宽度，我们把这个宽度称为Δy。如果我们把所有片的体积加起来，就可以得到这个面包的大致体积。当我们把面包分成越来越薄的片时（Δy越来越接近于0），面包体积的近似值会越来越精确。

所以我们只需将所有面包片的体积相加即可。唯一的问题是，计算一个面包片的体积并不那么容易。如果我们看一下单个的面包片，你会发现它本身还是一种奇怪的形状。


我们需要对这块面包片的面积进行近似计算，我们可以通过把它分成一堆矩形来实现。换句话说，为了求出一片面包的面积，我们必须像上面那样进行一重积分。


我们在X轴上进行积分，把小矩形加起来。然后，回到面包上，我们在Y轴上积分，把所有面包片的体积加起来。

从本质上讲，要求出面包的体积，我们要求积分的积分：我们求面包片的和，每个面包片本身是矩形的和。当然，"积分的积分 "写起来很麻烦，所以我们就叫它双重积分，我们这样写：


这就是二重积分（双重积分）。这是什么意思？

“dy ”是面包片的宽度，"dx "是面包片中矩形的宽度。f(x,y)指的是面包的“顶部”。这是因为面包在某一点的高度（又称z坐标）是该点的x坐标和y坐标的函数，所以它是f(x,y)。

如何理解三重积分

到了本文的重点：三重积分。我们已经讲过了一重积分和二重积分。希望大家能明白为什么这些东西会有用处：虽然这不是它们的唯一用途，但它们可以帮助我们求出不规则的二维和三维图形的面积和体积

你可能会猜到，这里有一个规律，是这样的：

通过一维积分，我们在一个维度上进行积分，得到到一个二维图形的面积。
用二重积分，我们在两个维度上进行积分，得到一个三维形状的体积。
用三重积分，我们在三个维度上进行积分，以得到到......一个四维形状的体积？
你是对的！ 三重积分是用来求一个四维形状的体积的。这听起来不可能。你可能会说："我们并不生活在四维空间，四维形状不存在"。我可以解释三重积分在现实世界中是如何使用的。要明白这一点，我们需要改变我们对维度的思考方式。

一张照片里有多少个维度？

让我们回到二重积分的话题上来。你见过热成像吗是用热像仪拍摄的照片，不同的颜色代表不同的温度。


照片是二维的，但热成像照片上的每个点都有一个与之相关的 "热量"。由于热量是用数值表示的，我们可说，热成像照片上的每一个点都有一个与之相关的数字。


从右边的图例可以看出，蓝色斑点的热值可能是 "15"，而较红的斑点的热值可能是 "28"。我们甚至可以把这张照片变成三维图，其中高度（z坐标）与热量相对应。


那么，这里有一个问题：我如何求出这整张照片的总热量？答案是我们用二重积分。我们在x轴和y轴上积分，然后把整个照片的温度加起来。总热量等于上面三维图的体积。

这似乎令人困惑，因为这张照片是二维的，而如前所述，双积分是用来求三维形状的体积的。但我们需要改变对 "维度 "的思考方式。我们通常认为维度是空间维度。然而，一个 "维度 "实际上只是指与一个点相关的数值。一个维度不一定是空间中的一个方向。

现实世界中的三重积分

回到三重积分的话题。比方说，你有一间形状像盒子的卧室。暖气口可能只在房间的一个角落，所以热量并没有均匀地分布在整个房间。温度在通风口附近会很高，在与通风口相对的角落会很低，以此类推。房间里任何一个点的热量都由某个函数f(x,y,z)给出。

如果我想把房间里的所有热量加起来，我该怎么做？

很明显，房间里有三个空间维度。但同样，温度也算作一个维度，因为它是一个与点相关的数字。所以这个问题发生在4个维度上：宽度、长度、高度和温度。

由于有4个维度，我们将使用三重积分。

让我们先把房间可视化。这就是一个三维房间的热量图。


如前所述，如果你看这个房间，温度是盒子内一个点的x、y和z坐标的函数。这个函数是f(x,y,z)。

我们将从Z轴上的积分开始，把盒子分成许多平行于地面的“切片”。


乍看起来，我好像把房间分成了一堆二维的切片，但请记住，温度也是一个维度。我实际上是把房间切成了一堆二维的温度图。而正如我们所讨论的，二维温度图有三个维度。


接下来，我们要对y积分，把热图分成许多小片，就像我们对面包做的那样：


最后，我们将把每一个切片沿着X轴划分成许多小矩形。


这样，我们可以准确地把这个房间里的所有热量加起来。我们沿Z轴将房间分成热图，然后沿Y轴将热图分成片状，再沿X轴将片状分成矩形。我们把这称为三重积分。它是这样写的：


“dz” 是z的变化，"dy "是y的变化，而 "dx "是x的变化。

使用这个三重积分，我们可以求出3维房间里的总热量。如果一个 "维度 "可以指空间维度以外的东西，我们就会发现三重积分有很多应用。我们可以求出一些三维物体的总惯性，或者篮球的引力。

结论

简而言之。就数学而言，一个维度不一定是指空间。它可以指任何数值，如温度、惯性、或湿度。

在一重积分中，我们对一个变量进行积分，以求得一个二维图形的面积。
在二重分中，我们通过对两个变量的积分来求得一个三维形状的体积。
在三重积分中，我们对3个变量进行积分，以求得一个四维图形的体积。
所以，我们用三重积分来寻找四维图形的体积，这乍听起来没什么用。但是，只要我们转变一下对 "维度 "的思考方式，就会发现四维图形比看起来更常见。三重积分帮助我们认识和理解这些形状。